一、冪函數(shù)的性質(zhì)和特征

1、冪函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)$y=x^a$叫做冪函數(shù)，其中$x$為自變量，$a$為常數(shù)。

2、冪函數(shù)的特征

（1）解析式右邊是一個(gè)冪；

（2）系數(shù)為1；

（3）底數(shù)是自變量；

（4）指數(shù)是常數(shù)。

3、冪函數(shù)的性質(zhì)

（1）$y=x$

定義域?yàn)?\mathbf{R}$；值域?yàn)?\mathbf{R}$；奇函數(shù)；在$\mathbf{R}$上單調(diào)遞增；恒過(guò)定點(diǎn)$（1,1）$；冪函數(shù)在第四象限內(nèi)無(wú)圖象。

（2）$y=x^2$

定義域?yàn)?\mathbf{R}$；值域?yàn)?y\geqslant0$；偶函數(shù)；在$(-∞,0)$上單調(diào)遞減，在$（0,+∞）$上單調(diào)遞增；恒過(guò)定點(diǎn)$（1,1）$；冪函數(shù)在第四象限內(nèi)無(wú)圖象。

（3）$y=x^3$

定義域?yàn)?\mathbf{R}$；值域?yàn)?\mathbf{R}$；奇函數(shù)；在$\mathbf{R}$上單調(diào)遞增；恒過(guò)定點(diǎn)$（1,1）$；冪函數(shù)在第四象限內(nèi)無(wú)圖象。

（4）$y=x^\frac{1}{2}$

定義域?yàn)?x\geqslant0$；值域?yàn)?y\geqslant0$；非奇非偶函數(shù)；在$（0,+∞）$上單調(diào)遞增；恒過(guò)定點(diǎn)$（1,1）$；冪函數(shù)在第四象限內(nèi)無(wú)圖象。

（5）$y=x^{-1}$

定義域?yàn)?x≠0$；值域?yàn)?y≠0$；奇函數(shù)；在$（-∞,0）$和$(0,+∞)$上單調(diào)遞減；恒過(guò)定點(diǎn)$（1,1）$；冪函數(shù)在第四象限內(nèi)無(wú)圖象。

二、冪函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)例題

已知冪函數(shù)$f(x)=(t^2-t+1)·x^{\frac{7+3t-2t^2}{5}}(t∈\mathbf{N})$是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)$t$=___

A．0 B．-1或1

C．1 D．0或1

答案：C

解析：$∵f(x)=(t^2-t+1)·x^{\frac{7+3t-2t^2}{5}}$是冪函數(shù)，∴$t^2-t+1=1$，即$t^2-t=0$，解得$t=0$或$t=1$。當(dāng)$t=0$時(shí)，$f(x)=x^\frac{7}{5}$是奇函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)$t=1$時(shí)，$f(x)=x^\frac{8}{5}$是偶函數(shù)，滿足題意，故選C。