2023年江蘇省高考仿真數(shù)學試卷

參考公式：柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高．

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．

1．已知集合，則       ．

2．已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部是       ．

3．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是       ．

4．將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是       ．

5．如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是       ．

6．在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是       ．

7．已知y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，，則的值是       ．

8．已知=，則的值是       ．

9．如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內孔半輕為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是       cm.

10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是       ．

11．設{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是       ．

12．已知，則的最小值是       ．

13．在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是       ．

14．在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是       ．

二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15．（14分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．

（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．

16．（14分）

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．

17．（14分）

某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上)．經(jīng)測量，左側曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關系式；右側曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關系式.已知點B到的距離為40米．

（1）求橋AB的長度；

（2）計劃在谷底兩側建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點)．.橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0)，問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？

18．（16分）

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．

（1）求的周長；

（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q，求的最小值；

（3）設點M在橢圓E上，記與的面積分別為S1，S2，若，求點M的坐標．

19．（16分）

已知關于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．

（1）若，求h(x)的表達式；

（2）若，求k的取值范圍；

（3）若求證：．

20．（16分）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．

（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；

（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；

（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ～3”數(shù)列，且？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

2023年江蘇省高考仿真數(shù)學試卷答案

1．  2．3  3．2 4．   5． 6．  7．   8．  9．  10． 11．4  12．    13．或0  14．

15．證明：因為分別是的中點，所以.

又平面，平面，

所以平面.

（2）因為平面，平面,

所以.

又,平面,平面,

所以平面.

又因為平面,所以平面平面.

16．解：（1）在中，因為，

由余弦定理，得，

所以.

在中，由正弦定理，

得，

所以

（2）在中，因為,所以為鈍角，

而,所以為銳角.

故則.

因為，所以，.

從而

.

17．解：（1）設都與垂直，是相應垂足.

由條件知，當時，

則.

由得

所以（米）.

（2）以為原點，為軸建立平面直角坐標系（如圖所示）.

設則

.

因為所以.

設則

所以

記橋墩和的總造價為，

則 

，

令 得

所以當時，取得最小值.

答：（1）橋的長度為120米；

（2）當為20米時，橋墩和的總造價最低.

18．解：（1）橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，

則.

所以的周長為.

（2）橢圓的右準線為.

設，

則，

在時取等號.

所以的最小值為.

（3）因為橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且在第一象限內，，

則.

所以直線

設，因為，所以點到直線距離等于點到直線距離的3倍.

由此得，

則或.

由得，此方程無解；

由得，所以或.

代入直線，對應分別得或.

因此點的坐標為或.

19．解:（1）由條件，得，

取，得，所以．

由，得，此式對一切恒成立，

所以，則，此時恒成立，

所以．

（2）.

令，則令，得.

所以.則恒成立，

所以當且僅當時，恒成立．

另一方面，恒成立，即恒成立，

也即恒成立．

因為，對稱軸為，

所以，解得．

因此，k的取值范圍是

（3）①當時，

由，得，整理得

令 則．

記

則恒成立，

所以在上是減函數(shù)，則，即．

所以不等式有解，設解為，

因此．

②當時，

．

設，

令，得．

當時，，是減函數(shù)；

當時，，是增函數(shù)．

，，則當時，．

（或證：．）

則，因此．

因為，所以．

③當時，因為，均為偶函數(shù)，因此也成立．

綜上所述，．

20．解：（1）因為等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，

也即，此式對一切正整數(shù)n均成立．

若，則恒成立，故，而，

這與是等差數(shù)列矛盾．

所以．（此時，任意首項為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）

（2）因為數(shù)列是“”數(shù)列，

所以，即．

因為，所以，則．

令，則，即．

解得，即，也即，

所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列．

因為，所以．則

（3）設各項非負的數(shù)列為“”數(shù)列，

則，即．

因為，而，所以，則．

令，則，即．（*）

①若或，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個．

（此數(shù)列為1，0，0，0，…）

②若，則（*）化為，

因為，所以，則（*）只有一解為，

即符合條件的數(shù)列只有一個．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）

③若，則的兩根分別在（0，1）與（1，+∞）內，

則方程（*）有兩個大于或等于1的解：其中一個為1，另一個大于1（記此解為t）．

所以或．

由于數(shù)列從任何一項求其后一項均有兩種不同結果，所以這樣的數(shù)列有無數(shù)多個，則對應的有無數(shù)多個．

綜上所述，能存在三個各項非負的數(shù)列為“”數(shù)列，的取值范圍是．

21．【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A．[選修4-2：矩陣與變換]（10分）

平面上點在矩陣對應的變換作用下得到點．

（1）求實數(shù)，的值；

（2）求矩陣的逆矩陣．

B．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）

在極坐標系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．

（1）求，的值；

（2）求出直線與圓的公共點的極坐標．

C．[選修4-5：不等式選講]（10分）

設，解不等式．

 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

 22．（10分）

在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點．

（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；

（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．

23．（10分）

甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．

（1）求p1，q1和p2，q2；

（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示) ．

 數(shù)學Ⅱ(附加題)參考答案

21．【選做題】

A．[選修4-2：矩陣與變換]

本小題主要考查矩陣的運算、逆矩陣等基礎知識，考查運算求解能力．滿分10分．

解：（1）因為 ，所以

解得，所以．

（2）因為，，所以可逆，

從而．

B．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力．滿分10分．

解：（1）由，得；，又（0，0）（即（0，））也在圓C上，

因此或0．

（2）由得，所以．

因為，，所以，．

所以公共點的極坐標為．

C．[選修4-5：不等式選講]

本小題主要考查解不等式等基礎知識，考查運算求解和推理論證能力．滿分10分．

解：當x>0時，原不等式可化為，解得；

當時，原不等式可化為，解得；

當時，原不等式可化為，解得．

綜上，原不等式的解集為．

22．【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎知識，考查空間想象能力和運算求解能力．滿分10分．

解：（1）連結OC，因為CB =CD，O為BD中點，所以CO⊥BD．

又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．

以為基底，建立空間直角坐標系O–xyz．

因為BD=2，，AO=2，

所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）．

因為E為AC的中點，所以E（0，1，1）．

則=（1，0，–2），=（1，1，1），

所以．

因此，直線AB與DE所成角的余弦值為．

（2）因為點F在BC上，，=（–1，2，0）．

所以．

又，

故．

設為平面DEF的一個法向量，

則即

取，得，，所以．

設為平面DEC的一個法向量，又=（1，2，0），

則即取，得，，

所以．

故．

所以．

23．【必做題】本小題主要考查隨機變量及其概率分布等基礎知識，考查邏輯思維能力和推理論證能力．滿分10分．

解：（1），，

，

．

（2）當時，

，①

，②

，得．

從而，又，

所以，．③

由②，有，又，

所以，．

由③，有，．

故，．

的概率分布

則．