2022四川高考數(shù)學試題及答案解析

一、選擇題（5×12＝60分）

1、設集合＝｛｜ ｝，＝｛｜｝.則＝

    A.  ｛｜－7＜＜－5 ｝              B.  ｛｜ 3＜＜5 ｝

C.  ｛｜ －5 ＜＜3｝               D.  ｛｜ －7＜＜5 ｝

【答案】C

【解析】＝｛｜ ｝，＝｛｜ ｝

∴＝｛｜ －5 ＜＜3｝ 

2、函數(shù)的反函數(shù)是

   A.                  B.

   C.                D.

【答案】C

【解析】由，又因原函數(shù)的值域是，

∴其反函數(shù)是

3、等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是

   A. 90                  B. 100         C. 145           D. 190

【答案】B

【解析】設公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝100

4、已知函數(shù)，下面結論錯誤的是

  A. 函數(shù)的最小正周期為2           B. 函數(shù)在區(qū)間［0，］上是增函數(shù)

  C.函數(shù)的圖象關于直線＝0對稱      D. 函數(shù)是奇函數(shù)

【答案】D

【解析】∵，∴A、B、C均正確，故錯誤的是D

【易錯提醒】利用誘導公式時，出現(xiàn)符號錯誤。

5、設矩形的長為，寬為，其比滿足∶＝，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形。黃金矩形常應用于工藝品設計中。下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：

甲批次：0.598   0.625   0.628   0.595   0.639

乙批次：0.618   0.613   0.592   0.622   0.620

根據(jù)上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數(shù)，與標準值0.618比較，正確結論是

  A. 甲批次的總體平均數(shù)與標準值更接近

  B. 乙批次的總體平均數(shù)與標準值更接近

  C. 兩個批次總體平均數(shù)與標準值接近程度相同

  D. 兩個批次總體平均數(shù)與標準值接近程度不能確定

【答案】A

【解析】甲批次的平均數(shù)為0.617，乙批次的平均數(shù)為0.613

【備考提示】用以上各數(shù)據(jù)與0.618（或0.6）的差進行計算，以減少

            計算量，說明多思則少算。

6、如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，

則下列結論正確的是

  A.

  B.

  C. 直線∥

  D. 直線所成的角為45°

【答案】D

【解析】∵AD與PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以也不成立；BC∥AD∥平面PAD, ∴直線∥也不成立。在中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°. ∴D正確

7、已知，，，為實數(shù)，且＞.則“＞”是“－＞－”的

   A. 充分而不必要條件                   B. 必要而不充分條件

   C. 充要條件                           D. 既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】顯然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，則同向不等式相加得＞

       即由“－＞－”“＞”

8、已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點

在雙曲線上.則·＝

   A. －12             B.  －2            C.   0          D. 4

【答案】C

【解析】由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是，于是兩焦點坐標分別是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，則，

.∴·＝

9、如圖，在半徑為3的球面上有三點，=90°，,

   球心O到平面的距離是，則兩點的球面距離是

   A.                        B.

   C.                       D.2

【答案】B

【解析】∵AC是小圓的直徑。所以過球心O作小圓的垂線，垂足O’是AC的中點。

        O’C＝，AC＝3，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC?！?img src="http://img.gaosan.com/doc/158-20220601204138/20220601204138.086.png" width="81" height="42" alt="高考資源網(wǎng)( www.ks5u.com)，中國最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:page; -aw-rel-vpos:page; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />

        ，則兩點的球面距離＝

10、某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是

   A. 12萬元           B. 20萬元           C. 25萬元          D. 27萬元

【答案】D

【解析】設生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關系：

     則有：

   目標函數(shù)

   作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標，經(jīng)驗證知：

   當＝3，＝5時可獲得最大利潤為27萬元，故選D

11、2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是

   A.  60              B. 48               C. 42               D. 36

【答案】B

【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共有12×4＝48種不同排法。

解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：

第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；

第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時共有＝12種排法

第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。

此時共有＝12種排法

     三類之和為24＋12＋12＝48種。

12、已知函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有

   ，則的值是

    A.  0               B.            C. 1                 D.

【答案】A

【解析】若≠0，則有，取，則有：

  （∵是偶函數(shù)，則 ）

由此得

于是，

2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）

數(shù) 學（文史類）

第Ⅱ卷

考生注意事項：

 請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效．

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．

13.拋物線的焦點到準線的距離是                  .

【答案】2

【解析】焦點（1，0），準線方程，∴焦點到準線的距離是2

14.的展開式的常數(shù)項是                 （用數(shù)字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.

m    【答案】－20

【解析】，令，得

      故展開式的常數(shù)項為

15.如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè)棱的中點，則異面直線所成的角的大小是                  。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

【答案】90°

【解析】作BC的中點N，連接AN，則AN⊥平面BCC1B1，

       連接B1N，則B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，

∵B1N⊥BM，∴AB1⊥BM.即異面直線所成的角的大小是90°

16．設是已知平面上所有向量的集合，對于映射，記的象為。若映射滿足：對所有及任意實數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換。現(xiàn)有下列命題：

①設是平面上的線性變換，，則    

②若是平面上的單位向量，對，則是平面上的線性變換；

③對，則是平面上的線性變換；

④設是平面上的線性變換，，則對任意實數(shù)均有。

其中的真命題是                     （寫出所有真命題的編號）

【答案】①③④

【解析】①：令，則故①是真命題

        同理，④：令，則故④是真命題

        ③：∵，則有

            是線性變換，故③是真命題

       ②：由，則有

          ∵是單位向量，≠0，故②是假命題

【備考提示】本小題主要考查函數(shù)，對應及高等數(shù)學線性變換的相關知識，試題立意新穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學閱讀能力，具有選拔性質(zhì)。

三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17. （本小題滿分12分）

在中，為銳角，角所對的邊分別為，且

（I）求的值；

（II）若，求的值。

【解析】（I）∵為銳角，

∴

∵

∴         …………………………………………6分

（II）由（I）知，∴

 由得

，即

又∵ 

∴     ∴ 

∴        …………………………………………12分

18. （本小題滿分12分）

為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國內(nèi)發(fā)行總量為2000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡稱金卡），向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡稱銀卡）。某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

（I）在該團中隨機采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率；

（II）在該團中隨機采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率.

【解析】I）由題意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省內(nèi)游客有9人,其中6人持銀卡.

設事件A為“采訪該團2人,恰有1人持銀卡”,則

所以采訪該團2人，恰有1人持銀卡的概率是.    …………………………………6分

（II）設事件B為“采訪該團2人,持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等”,可以分為：

事件B1為“采訪該團2人,持金卡0人，持銀卡0人”,或事件B2為“采訪該團2人,持金卡1人，持銀卡1人”兩種情況，則

所以采訪該團2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率是.    ……………………12分

19（本小題滿分12分）

如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求證：；

（II）設線段、的中點分別為、，求證： ∥

（III）求二面角的大小。

【解析】解法一：

因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF.

因為⊿ABE為等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因為∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因為BC平面ABCD, BE平面BCE,

BC∩BE=B

所以

    …………………………………………6分

（II）取BE的中點N,連結CN,MN,則MNPC

∴  PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN.

∵  CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi),

∴  PM∥平面BCE.                  …………………………………………8分

（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥EA.從而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,連結FH,則由三垂線定理知BD⊥FH.

∴  ∠FHG為二面角F-BD-A的平面角.

∵  FA=FE,∠AEF=45°,

∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

設AB=1,則AE=1,AF=,則

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

在Rt⊿FGH中, ,

∴  二面角的大小為

                      …………………………………………12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

解法二: 因等腰直角三角形，，所以

又因為平面，所以⊥平面，所以

即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系,

 (I) 設，則，

∵，∴，

從而 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

，

于是，

         ∴⊥,⊥

       ∵平面，平面，

       ∴

（II），從而

     于是

     ∴⊥，又⊥平面，直線不在平面內(nèi)，

      故∥平面

（III）設平面的一個法向量為，并設＝（

         即

   取，則，，從而＝（1，1，3）

  取平面D的一個法向量為

   w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

故二面角的大小為

20（本小題滿分12分）

已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是。

（I）求函數(shù)的解析式；

（II）設函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應的自變量的值.

【解析】（I）由已知,切點為(2,0),故有,即……①

又，由已知得……②

聯(lián)立①②，解得.

所以函數(shù)的解析式為    …………………………………4分

（II）因為

令

當函數(shù)有極值時，則，方程有實數(shù)解，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

由，得.

①當時，有實數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值

②當時，有兩個實數(shù)根情況如下表：

所以在時，函數(shù)有極值；

當時，有極大值；當時，有極小值；

  …………………………………12分

21. （本小題滿分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，右準線方程為。

（I）求橢圓的標準方程；

（II）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程。

【解析】（I）由已知得，解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

∴

∴ 所求橢圓的方程為          …………………………………4分

（II）由（I）得、

①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得

設、，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

∴ ，這與已知相矛盾。

②若直線的斜率存在，設直線直線的斜率為，則直線的方程為，

設、，

聯(lián)立，消元得

∴  ，

∴  ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

又∵

∴ 

∴ 

化簡得

解得

∴ 

∴  所求直線的方程為     …………………………………12分

22. （本小題滿分14分）

設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

（I）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；

（II）設數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由；

（III）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；

【解析】（I）當時， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

又

∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

∴，          …………………………………3分

（II）不存在正整數(shù)，使得成立。

證明：由（I）知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

∴當n為偶數(shù)時，設 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

∴

當n為奇數(shù)時，設

∴

∴對于一切的正整數(shù)n，都有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

∴不存在正整數(shù)，使得成立。      …………………………………8分

（III）由得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

當時，，

當時，

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                       

                                   …………………………………14分