2022天津高考文科數(shù)學試題及答案解析

數(shù)學（文史類）

參考公式：

。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。

。棱柱的體積公式V=sh。其中S表示棱柱的底面積，h表示棱柱的高

1.是虛數(shù)單位，=

A  B    C   D

【答案】D

 【解析】由已知，

【考點定位】本試題考查了復數(shù)的基本的除法運算。

2.設變量x,y滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為

A  6       B  7     C 8     D 23

【答案】B

 【解析】由已知，先作出線性規(guī)劃區(qū)域為一個三角形區(qū)域，得到三個交點（2，1）（1，2）（4，5），那么作一系列平行于直線 的平行直線，當過其中點（2，1）時，目標函數(shù)最小。

【考點定位】本試題考查了線性規(guī)劃的最優(yōu)解的運用以及作圖能力。

3．設的

A  充分不必要條件  B 必要不充分條件  C充要條件    D既不充分也不必要條件

【答案】A

 【解析】 因為，顯然條件的集合小，結(jié)論表示的集合大，由集合的包含關(guān)系，我們不難得到結(jié)論。

【考點定位】本試題考察了充分條件的判定以及一元高次方程的求解問題?？疾檫壿嬐评砟芰?。

4．設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）

A    B    C       D

【答案】C

 【解析】由已知得到，因為雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為

【考點定位】本試題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和運用?？疾炝送瑢W們的運算能力和推理能力。

5.設，則

A a<b<c  B a<c<b   C b<c<a    D b<a<c

【答案】B

 【解析】由已知結(jié)合對數(shù)函數(shù)圖像和指數(shù)函數(shù)圖像得到，而，因此選B。

【考點定位】本試題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)運用，考查了基本的運算能力。

6.閱讀右面的程序框圖，則輸出的S=

A   14           B   20        C  30        D 55

【答案】C

【解析】當時， S=1;當i=2時， S=5;循環(huán)下去，當i=3時， S=14；當i=4時,S=30；

【考點定位】本試題考查了程序框圖的運用。

7. 已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則的一個值是（  ）

A         B        C      D

【答案】D

【解析】由已知，周期為 ，則結(jié)合平移公式和誘導公式可知平移后是偶函數(shù)，，故選D

【考點定位】本試題考查了三角函數(shù)的周期性和三角函數(shù)的平移公式運用以及誘導公式的運用。

8. 設函數(shù)則不等式的解集是（  ）

A       B      

C        D

【答案】A

【解析】由已知，函數(shù)先增后減再增

當，令

解得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

當，

故 ，解得

【考點定位】本試題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。

9. 設的最大值為

A  2      B           C      1    D

【答案】C

 【解析】因為，

【考點定位】本試題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運用，考查了變通能力。

10. 設函數(shù)f(x)在R上的導函數(shù)為f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R內(nèi)恒成立的是

A      B       C       D

【答案】A

   【解析】由已知，首先令 ，排除B，D。然后結(jié)合已知條件排除C,得到A

【考點定位】本試題考察了導數(shù)來解決函數(shù)單調(diào)性的運用。通過分析解析式的特點，考查了分析問題和解決問題的能力。

二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分。把答案填寫在題中的橫線上。）

11. 如圖，相交與點O, 且，若得外接圓直徑為1，則的外接圓直徑為_________.

    【答案】2

    【解析】由正弦定理可以知道，,所以的外接圓半徑是外接圓半徑的二倍。

【考點定位】本試題考查了正弦定理的運用。以及三角形中外接圓半徑與邊角的關(guān)系式運用。考察了同學們對于新問題的轉(zhuǎn)化化歸思想。

12. 如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則a=________.

【答案】

    【解析】由已知正視圖可以知道這個幾何體是睡著的直三棱柱，兩個底面是等腰的三角形，且底邊為2，等腰三角形的高位a，側(cè)棱長為3，結(jié)合面積公式可以得到 ，解得a=

【考點定位】本試題考查了簡單幾何體的三視圖的運用。培養(yǎng)同學們的空間想象能力和基本的運算能力。

13. 設全集，若，則集合B=__________.

【答案】{2，4，6，8}

   【解析】 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

【考點定位】本試題主要考查了集合的概念和基本的運算能力。

14. 若圓與圓的公共弦長為，則a=________.

【答案】1

   【解析】由已知，兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 ，利用圓心（0，0）到直線的距離d為，解得a=1

【考點定位】本試題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式的運用?？疾炝送瑢W們的運算能力和推理能力。

15. 若等邊的邊長為，平面內(nèi)一點M滿足,則________.

【答案】-2

   【解析】合理建立直角坐標系，因為三角形是正三角形，故設

這樣利用向量關(guān)系式，求得M，然后求得，運用數(shù)量積公式解得為-2.

【考點定位】本試題考察了向量在解三角形中的幾何運用。也體現(xiàn)了向量的代數(shù)化手段的重要性。考查了基本知識的綜合運用能力。

16.  若關(guān)于x的不等式的解集中整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)a的取值范圍是_______.

【答案】

【解析】因為不等式等價于，其中中的，且有，故，不等式的解集為，則一定有1，2，3為所求的整數(shù)解集。所以，解得a的范圍為

【考點定位】本試題考查含有參數(shù)的一元二次不等式的解集問題的運用。考查了分類討論思想以及逆向思維的能力。

三、解答題

17. （本小題滿分12分）

在中， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

（Ⅰ）求AB的值。

（Ⅱ）求的值。

【答案】

   【解析】（1）解：在 中，根據(jù)正弦定理，，于是

（2）解：在 中，根據(jù)余弦定理，得

于是=，

從而

【考點定位】本題主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函數(shù)的關(guān)系式，二倍角的正弦和余弦，兩角差的正弦等基礎知識，考查基本運算能力。

18. （本小題滿分12分）

為了了解某工廠開展群眾體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從A，B,C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調(diào)查，已知A,B，C區(qū)中分別有18，27，18個工廠

（Ⅰ）求從A,B,C區(qū)中分別抽取的工廠個數(shù)；

（Ⅱ）若從抽取的7個工廠中隨機抽取2個進行調(diào)查結(jié)果的對比，用列舉法計算這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率。

【答案】(1) 2，3，2(2)

【解析】 （1）解： 工廠總數(shù)為18+27+18=63，樣本容量與總體中的個體數(shù)比為，所以從A,B,C三個區(qū)中應分別抽取的工廠個數(shù)為2，3，2.

（2）設為在A區(qū)中抽得的2個工廠，為在B區(qū)中抽得的3個工廠，為在C區(qū)中抽得的2個工廠，這7個工廠中隨機的抽取2個，全部的可能結(jié)果有：種，隨機的抽取的2個工廠至少有一個來自A區(qū)的結(jié)果有，,同理還能組合5種，一共有11種。所以所求的概率為

【考點定位】本小題主要考查分層抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎知識，考查運用統(tǒng)計、概率知識解決實際問題的能力。

19.如圖，在四棱錐中，，，且DB平分，E為PC的中點，,                                 

（Ⅰ）證明  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

（Ⅱ）證明

（Ⅲ）求直線BC與平面PBD所成的角的正切值

【答案】（1）略（2）略（3）

【解析】 證明：設，連結(jié)EH，在中，因為AD=CD，且DB平分，所以H為AC的中點，又有題設，E為PC的中點，故,又

,所以

（2）證明：因為，，所以

由（1）知，,故

(3)解：由可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以為直線與平面PBD所成的角。

由,

在中，,所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為。

【考點定位】本小題主要考察直線與平面平行。直線和平面垂直。直線和平面所成的角等基礎知識，考察空間想象能力、運算能力和推理能力。

20.（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列的公差d不為0，設

（Ⅰ）若 ,求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若成等比數(shù)列，求q的值。

（Ⅲ）若

【答案】（1）（2）（3）略

【解析】 （1）解：由題設，

代入解得，所以

（2）解：當成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得

（3）證明：由題設，可得，則

    ①w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

    ②

①-②得，

①+②得，

 ③

③式兩邊同乘以 q，得

所以

（3）證明：

=

因為，所以

若，取i=n，

若，取i滿足，且，

由（1）（2）及題設知，，且

①     當時，，由，

即，

所以

因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

②     當時，同理可得因此

綜上，

【考點定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列通項公式與前n項和等基本知識，考查運算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。

21. （本小題滿分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

設函數(shù)

（Ⅰ）當曲線處的切線斜率

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅲ）已知函數(shù)有三個互不相同的零點0，，且。若對任意的，恒成立，求m的取值范圍。

【答案】（1）1（2）在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=

函數(shù)在處取得極小值，且=

【解析】解：當

所以曲線處的切線斜率為1.

（2）解：，令，得到

因為

當x變化時，的變化情況如下表：

在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。

函數(shù)在處取得極大值，且=

函數(shù)在處取得極小值，且=

（3）解：由題設，

所以方程=0由兩個相異的實根，故，且，解得

因為

若，而，不合題意

若則對任意的有

則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

綜上，m的取值范圍是

【考點定位】本小題主要考查導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的運算，以及函數(shù)與方程的根的關(guān)系解不等式等基礎知識，考查綜合分析問題和解決問題的能力。

22. （本小題滿分14分）

已知橢圓（）的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點，且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

（Ⅰ求橢圓的離心率

（Ⅱ）直線AB的斜率；

（Ⅲ）設點C與點A關(guān)于坐標原點對稱，直線上有一點H(m,n)()在的外接圓上，求的值。

【答案】（1）（2）（3）

【解析】 （1）解：由，得,從而

，整理得，故離心率 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

（2）解：由（1）知，，所以橢圓的方程可以寫為

設直線AB的方程為即

由已知設則它們的坐標滿足方程組

消去y整理，得

依題意， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

而，有題設知，點B為線段AE的中點，所以

聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達定理中解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

(3)由（2）知，，當時，得A由已知得

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為

直線的方程為，于是點滿足方程組由，解得，故

當時，同理可得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程，圓的方程等基礎知識?？疾橛么鷶?shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算能力和推理能力。