2022湖南高考數(shù)學(xué)沖刺試卷及答案解析

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

一、   選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．   若a＜0，＞1，則          (D)

A．a(chǎn)＞1,b＞0     B．a(chǎn)＞1,b＜0    C. 0＜a＜1, b＞0   D. 0＜a＜1, b＜0

2．對(duì)于非0向時(shí)a,b,“a//b”的確良        （A）

A．充分不必要條件                B. 必要不充分條件

C．充分必要條件                  D. 既不充分也不必要條件

3．將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移0 ＜2的單位后，得到函數(shù)y=sin的圖象，則等于       （D）

A．               B．         C.            D.

4．如圖1，當(dāng)參數(shù)時(shí)，連續(xù)函數(shù) 的圖像分別對(duì)應(yīng)曲線和 , 則                                                    [ B]

A          B

C         D

5.從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位                                                             [ C]

A  85             B 56            C 49            D 28  

6. 已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓  在區(qū)域D內(nèi)

的弧長(zhǎng)為                                                                [ B]

A               B             C          D

7．正方體ABCD—的棱上到異面直線AB，C的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（C）

A．2              B．3             C. 4           D. 5          

8.設(shè)函數(shù)在（，+）內(nèi)有定義。對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)

取函數(shù)=。若對(duì)任意的，恒有=，則         

A．K的最大值為2                       B. K的最小值為2

C．K的最大值為1                       D. K的最小值為1                     【D】

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上

9．某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛兵乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為_12__

10．在的展開式中，的系數(shù)為___7__(用數(shù)字作答)

11、若x∈(0, )則2tanx+tan(-x)的最小值為2.          

12、已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60 ，則雙曲線C的離心率為

13、一個(gè)總體分為A，B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個(gè)數(shù)數(shù)位 50 。

14、在半徑為13的球面上有A , B, C 三點(diǎn)，AB=6，BC=8，CA=10，則         

（1）球心到平面ABC的距離為 12  ；

（2）過Ａ，B兩點(diǎn)的大圓面為平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為   3  

15、將正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)

三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

16.（本小題滿分12分）

在，已知，求角A，B，C的大小。

解：設(shè)

由得，所以

又因此          

由得，于是

所以，，因此

，既

由A=知，所以，，從而

或，既或故

或。

17.（本小題滿分12分）

為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的.、、，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)。         

（I）求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；

（II）記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望。

解:記第1名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件       ,,，i=1，2，3.由題意知相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨(dú)立，且P（）=，P（）=，P（）=

（1）          他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率

P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=

(2) 解法1  設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由己已知，-B（3，），且=3。

所以P（=0）=P（=3）==，

 P（=1）=P（=2）= =           

P（=2）=P（=1）==

P（=3）=P（=0）= =

故的分布是

的數(shù)學(xué)期望E=0+1+2+3=2

解法2 第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件，

i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互獨(dú)立，且

P（）-（，）= P（）+P（）=+=

所以--,既，          

故的分布列是

18.（本小題滿分12分）

如圖4，在正三棱柱中，

D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。

（I）                       證明平面平面

（II）                     求直線和平面所成角的正弦值。         

解  （I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面

又DE平面ABC，所以DEAA.

而DEAE。AAAE=A  所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。

（2）解法1  如圖所示，設(shè)F使AB的中點(diǎn)，連接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性質(zhì)及D是AB的中點(diǎn)知ABCD，  ABDF          

又CDDF=D，所以AB平面CDF，

而AB∥AB，所以

AB平面CDF，又AB平面ABC，故

平面AB C平面CDF。

過點(diǎn)D做DH垂直CF于點(diǎn)H，則DH平面AB C。         

連接AH，則HAD是AD和平面ABC所成的角。

由已知AB=A A，不妨設(shè)A A=，則AB=2，DF=，D C=，

CF=，AD==，DH==—，

所以 sinHAD==。

即直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。

解法2  如圖所示，設(shè)O使AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)

A A=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

A(0,-1,0)， B（，0，0），  C（0，1，），  D（，-，）。

易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）         

設(shè)平面ABC的法向量為n=（x，y，z）,則有

解得x=-y， z=-，

故可取n=(1，-，)。

所以，(n·)===。

由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。

19.（本小題滿分13分）

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為萬元。

  （Ⅰ）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

  （Ⅱ）當(dāng)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使最小？

解 （Ⅰ）設(shè)需要新建個(gè)橋墩，

所以  

    （Ⅱ）  由（Ⅰ）知，

  令，得，所以=64

   當(dāng)0<<64時(shí)<0，  在區(qū)間（0，64）內(nèi)為減函數(shù)；         

當(dāng)時(shí)，>0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，

所以在=64處取得最小值，此時(shí)，

故需新建9個(gè)橋墩才能使最小。

20（本小題滿分13分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和         

 （Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C；

 （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長(zhǎng)度的最大值。

   解（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則3︳x-2︳

由題設(shè)

當(dāng)x>2時(shí)，由①得

  化簡(jiǎn)得 

當(dāng)時(shí)  由①得

  化簡(jiǎn)得                        

故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1

（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是A（2，），

B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.

當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由②知

.                 ④

當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由③知         

                   ⑤

若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為

（i）當(dāng)k≤，或k≥，即k≤-2 時(shí)，直線I與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M（，），N（，）都在C 上，此時(shí)由④知

∣MF∣= 6 -     ∣NF∣= 6 -           

從而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)

由 得 則，是這個(gè)方程的兩根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 -

因?yàn)楫?dāng)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。

（2）當(dāng)時(shí)，直線L與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，則④⑤知，

   設(shè)直線AF與橢圓的另一交點(diǎn)為E

   所以。而點(diǎn)A，E都在上，且

   有（1）知          

若直線的斜率不存在，則==3，此時(shí)

綜上所述，線段MN長(zhǎng)度的最大值為

21.（本小題滿分13分）

對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)M＞0,對(duì)任意的，恒有     

則稱數(shù)列為B-數(shù)列

（1）          首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由;

請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題

判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

（2）          設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，給出下列兩組論斷；

A組：①數(shù)列是B-數(shù)列      ②數(shù)列不是B-數(shù)列

B組：③數(shù)列是B-數(shù)列      ④數(shù)列不是B-數(shù)列

請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題。

判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

（3） 若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。

解（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則，于是

因此｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=

因?yàn)?a >所以即         

   故首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。

（2）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列

      次命題為假命題。

     事實(shí)上，設(shè)，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但

由的任意性知，數(shù)列是B-數(shù)列此命題為。

命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列

此命題為真命題

事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的有

即。于是

所以數(shù)列是B-數(shù)列。

（III）若數(shù)列 {}是數(shù)列，則存在正數(shù)，對(duì)任意的有

注意到

同理：          

記，則有

因此 

      +

故數(shù)列是數(shù)列         

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