數(shù)系的擴(kuò)充不僅僅是增加一種新的數(shù)，它還涉及數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的引入，體現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充的必要性及現(xiàn)實(shí)意義；給出的相關(guān)規(guī)定體現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充后運(yùn)算的封閉性，同時(shí)體現(xiàn)了規(guī)定的合理性。

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

數(shù)系的擴(kuò)充不僅僅是增加一種新的數(shù)，它還涉及數(shù)的運(yùn)算．因此，數(shù)系的擴(kuò)充還需保留原來(lái)的基本運(yùn)算，用今天的話來(lái)講，就是要向前“兼容”，不能推倒小樓建大樓．具體來(lái)講，就是加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方的運(yùn)算律應(yīng)得到繼承．比如要滿足加法、乘法的交換率和結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律。

復(fù)數(shù)的引入，體現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充的必要性及現(xiàn)實(shí)意義；給出的相關(guān)規(guī)定體現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充后運(yùn)算的封閉性，同時(shí)體現(xiàn)了規(guī)定的合理性。

數(shù)系的擴(kuò)充它是在人類認(rèn)識(shí)和運(yùn)用數(shù)的歷史發(fā)展過(guò)程中，逐步形成的、不斷擴(kuò)大數(shù)的范圍的一些基本原則。

這些原則是：

1、從數(shù)系A(chǔ)擴(kuò)充到數(shù)系B必須是AB，即A是B的真子集；

2、數(shù)系A(chǔ)中定義了的基本運(yùn)算能擴(kuò)展為數(shù)系B的運(yùn)算，且這些運(yùn)算對(duì)于B中A的元來(lái)說(shuō)與原來(lái)A的元間的關(guān)系和運(yùn)算相一致；

3、A中不是永遠(yuǎn)可行的某種運(yùn)算，在B中永遠(yuǎn)可行，例如，實(shí)數(shù)系擴(kuò)充為復(fù)數(shù)系后，開(kāi)方的運(yùn)算就永遠(yuǎn)可行，再如，自然數(shù)系擴(kuò)充為整數(shù)系后，減法的運(yùn)算就能施行等。

我們把形如z=a+bi（a,b均為實(shí)數(shù)）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中a稱為實(shí)部，b稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位。當(dāng)z的虛部等于零時(shí)，常稱z為實(shí)數(shù)；當(dāng)z的虛部不等于零時(shí)，實(shí)部等于零時(shí)，常稱z為純虛數(shù)。

在每一次數(shù)系擴(kuò)充中，人們都遵守了如下幾條原則：

1、擴(kuò)充的目的：在原數(shù)集中某種運(yùn)算不封閉，在擴(kuò)充后的新數(shù)集中該運(yùn)算封閉；

2、擴(kuò)充后的集合要擴(kuò)大：進(jìn)行的每一次擴(kuò)充都是從一個(gè)較小的原數(shù)集擴(kuò)充到一個(gè)較大的新數(shù)集，且使得原數(shù)集是新數(shù)集的一部分；

3、保持原有的運(yùn)算：進(jìn)行擴(kuò)充時(shí),要使原數(shù)集中所能夠進(jìn)行的運(yùn)算在新的數(shù)集中有意義，并且當(dāng)把原數(shù)集中的數(shù)看成新數(shù)集中的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，其結(jié)果應(yīng)與它們?cè)谠瓟?shù)集中所得到的結(jié)果完全相同；

4、擴(kuò)充的最小性與唯一性：要使擴(kuò)充后的新數(shù)集是原數(shù)集滿足以上的①、②、③原則的最小擴(kuò)充，并且該擴(kuò)充是唯一的。