絕密★啟用前

202l年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（甲卷）

文科數(shù)學

注意事項：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．設(shè)集合，則

A． B． C． D．

2．為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是

A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

3．已知，則

A． B． C． D．

4．下列函數(shù)中是增函數(shù)的為

A． B． C． D．

5．點到雙曲線的一條漸近線的距離為

A． B． C． D．

6．青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

7．在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是

A． B． C． D．

8．在中，已知，，，則

A．1 B． C． D．3

9．記為等比數(shù)列的前n項和．若，，則

A．7 B．8 C．9 D．10

10．將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為

A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8

11．若，則

A． B． C． D．

12．設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且．若，則

A． B． C． D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．若向量滿足，則_________．

14．已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為，則該圓錐的側(cè)面積為________．

15．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________．

16．已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：共60分．

17．（12分）

甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：

（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

附：，

18．（12分）

記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．

19．（12分）

已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，．

（1）求三棱錐的體積；

（2）已知D為棱上的點，證明：．

20．（12分）

設(shè)函數(shù)，其中．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若的圖像與x軸沒有公共點，求a的取值范圍．

21．（12分）

拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．

（1）求C，的方程；

（2）設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．

22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）

在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．

（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）設(shè)點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點．

23．[選修4-5：不等式選講]（10分）

已知函數(shù)．

（1）畫出和的圖像；

（2）若，求a的取值范圍．