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點(diǎn)到直線的距離公式及其證明方法是什么

2021-03-15 15:15:44文/李傲

連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。下面是計(jì)算點(diǎn)到直線距離的公式，快來(lái)看看吧！

點(diǎn)到直線的距離公式及其證明方法是什么

點(diǎn)到直線的距離公式

點(diǎn)到直線的距離公式

點(diǎn)到直線距離公式的證明法

定義法證：根據(jù)定義，點(diǎn)P(x?,y?)到直線l：Ax+By+C=0的距離是點(diǎn)P到直線l的垂線段的長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)P到直線的垂線為l'，垂足為Q，則l'的斜率為B/A則l'的解析式為y-y?=(B/A)(x-x?)把l和l'聯(lián)立得l與l'的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為((B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2), (A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2))由兩點(diǎn)間距離公式得：

PQ^2=[(B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx?-B^2y?-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By?-C-Ax?)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax?-C-By?)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax?+By?+C|/√(A^2+B^2)，公式得證。

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