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無窮等比數(shù)列求和公式

2020-12-10 14:02:24文/陳宇航

數(shù)列，a，aq，aq^2……aq^n。我們把|q|<1無窮等比數(shù)列稱為無窮遞縮等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和的極限才存在。S是表示無窮等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和，這種無限個(gè)項(xiàng)的和與有限個(gè)項(xiàng)的和從意義上來說是不一樣的，S是前n項(xiàng)和Sn當(dāng)n→∞的極限，即S=a/(1-q)。

無窮等比數(shù)列求和公式

公式推導(dǎo)過程

設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1,公比是q，數(shù)列前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)公比不為1時(shí)

Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)

將這個(gè)式子兩邊同時(shí)乘以公比q，得

qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n

兩式相減，得

（1-q）Sn=a1-a1q^n

所以，當(dāng)公比不為1時(shí)，等比數(shù)列的求和公式為Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

對(duì)于一個(gè)無窮遞降數(shù)列，數(shù)列的公比小于1,當(dāng)上式得n趨向于正無窮大時(shí)，分子括號(hào)中的值趨近于1，取極限即得無窮遞減數(shù)列求和公式

S=a1/(1-q)

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