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高中逆矩陣怎么求

2020-10-17 16:10:31文/葉丹

運(yùn)用初等行變換法。將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個(gè)nX2n的矩陣B=（A，I]）對(duì)B施行初等行變換，即對(duì)A與I進(jìn)行完全相同的若干初等行變換，目標(biāo)是把A化為單位矩陣。當(dāng)A化為單位矩陣I的同時(shí)，B的右一半矩陣同時(shí)化為了A的逆矩陣。

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逆矩陣定理

（1）逆矩陣的唯一性。

若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的，并記作A的逆矩陣為A-1。

（2）n階方陣A可逆的充分必要條件是r(A)=m。

對(duì)n階方陣A,若r(A)=n,則稱A為滿秩矩陣或非奇異矩陣。

（3）任何一個(gè)滿秩矩陣都能通過(guò)有限次初等行變換化為單位矩陣。

推論：滿秩矩陣A的逆矩陣A可以表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。

逆矩陣的性質(zhì)

1、可逆矩陣一定是方陣。

2、如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。

3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。

4、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (轉(zhuǎn)置的逆等于逆的轉(zhuǎn)置）。

5、若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。

6、兩個(gè)可逆矩陣的乘積依然可逆。

7、矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它是滿秩矩陣。

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