幾何分布，P(X=n)=(1?p)^(n?1)p，隨著n增大呈等比級數(shù)變化，等比級數(shù)又稱幾何級數(shù)。這可能和以前幾何學(xué)中無限分割圖形得到的級數(shù)有關(guān)。

解題過程

期望用E表示，方差用D表示，一般把自變量記做ξ，如果對于結(jié)果為ξ的概率為Pξ那么，其期望為Eξ=∑ξ*Pξ，方差為Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，根據(jù)方差的概念，可知：

ξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ

=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)

=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ

因?yàn)椤芇ξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ

所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2

而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)

所以Dξ=E(ξ^2)－Eξ^2

期望：

Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p

Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p①

(1-p)*Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^ξ*p

(1-p)*Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p②

①－②得p*Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)*p

所以

Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)

=∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1)

=lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p

=1/p

若要計算方差，可以根據(jù)公式Dξ=E(ξ^2)－Eξ^2計算，

其中E(ξ^2)的計算過程如下：

E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p－∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p①

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p②

由①得

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p③

③－②得

p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)④

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)⑤

由④得

E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)⑥

⑥－⑤得

p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1).

p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p.

p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p.

E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p

=1/p＋2*(1-p)/p/p

=(2-p)/p/p

若求方差，根據(jù)公式Dξ=E(ξ^2)－Eξ^2得，

Dξ=(2-p)/p/p－1/p/p

=(1-p)/p^2