設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域為Du，值域為Mu，函數(shù)u=g(x）的定義域為Dx，值域為Mx，如果Mx∩Du≠?，那么對于Mx∩Du內(nèi)的任意一個x經(jīng)過u；有唯一確定的y值與之對應(yīng)，則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)如何求導(dǎo)

f[g(x)]中,設(shè)g(x)=u,則f[g(x)]=f(u)，

從而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)

呵呵，我們的老師寫在黑板上時我一開始也看不懂，那就舉個例子吧,耐心看哦！

f[g(x)]=sin(2x),則設(shè)g(x)=2x,令g(x)=2x=u,則f(u)=sin(u)

所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).

以此類推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)

y'={sin(3-x)]'=-cos(x)

一開始會做不好，老是要對照公式和例子，

但只要多練練，并且熟記公式，最重要的是記住一兩個例子，多練習(xí)就會了。

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

證法一：先證明個引理

f(x)在點x0可導(dǎo)的充要條件是在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)，存在一個在點x0連續(xù)的函數(shù)H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)

證明：設(shè)f(x)在x0可導(dǎo)，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心鄰域)；H(x)=f'(x0),x=x0

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

所以H(x)在點x0連續(xù)，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

反之，設(shè)存在H(x),x∈U(x0),它在點x0連續(xù)，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

所以f(x)在點x0可導(dǎo)，且f'(x0)=H(x0)

引理證畢。

設(shè)u=φ(x)在點u0可導(dǎo)，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)F(x)=f(φ(x))在x0可導(dǎo)，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

證明：由f(u)在u0可導(dǎo)，由引理必要性，存在一個在點u0連續(xù)的函數(shù)H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

又由u=φ(x)在x0可導(dǎo)，同理存在一個在點x0連續(xù)函數(shù)G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

因為φ，G在x0連續(xù)，H在u0=φ(x0)連續(xù)，因此H(φ(x))G(x)在x0連續(xù)，再由引理的充分性可知F(x)在x0可導(dǎo)，且

F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

證法二：y=f(u)在點u可導(dǎo)，u=g(x)在點x可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在點x0可導(dǎo)，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

證明：因為y=f(u)在u可導(dǎo)，則lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

當(dāng)Δu≠0，用Δu乘等式兩邊得，Δy=f'(u)Δu+αΔu

但當(dāng)Δu=0時，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。

又因為Δx≠0,用Δx除以等式兩邊，且求Δx->0的極限，得

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

又g(x)在x處連續(xù)(因為它可導(dǎo)),故當(dāng)Δx->0時，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

則lim(Δx->0)α=0

最終有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)